质量为 $m$ 的汽车从静止开始沿平直公路运动，发动机功率 $P$ 随时间 $t$ 变化的关系如图所示。整个过程汽车所受阻力恒为 $f$，$0 \sim t_1$ 时间内汽车前进距离为 $s$，则该汽车 A. $t_1$ 时刻前做加速度减小的加速运动，$t_1$ 时刻后做匀速运动 B. $t_1$ 时刻前做匀加速运动，$t_1$ 时刻后做匀速运动 C. $t_1$ 时刻汽车的速度大小为 $\frac{P_1}{f}$ D. $t_1$ 时刻汽车的速度大小为 $\sqrt{\frac{P_1 t_1 - 2fs}{m}}$

如图所示，一只鸭子想从 $A$ 点游到河对岸，$B$ 处是个圆形漩涡，$A$ 点和漩涡边缘连线与河岸的最大夹角为 $\theta$，河水流速为 $v_0$，鸭子游动速度大小恒定，鸭子经过漩涡边缘视为安全。则 A. 若鸭子能安全渡河，其游动的最小速度为 $v_0\sin\theta$ B. 若鸭子能安全渡河，其游动的最小速度为 $v_0\cos\theta$ C. 若鸭子游动的速度小于 $v_0$，鸭子也能垂直河岸渡河 D. 若鸭子游动的速度小于 $v_0$，鸭子无法安全渡河

2025年9月3日，中国“东风—5C”重型洲际导弹首次亮相，震撼了全球军事领域。如图所示，导弹发射后从 $P$ 点飞出大气层，靠惯性沿椭圆轨道飞行，经远地点 $B$ 后从 $Q$ 点返回大气层，地心 $O$ 为椭圆轨道的一个焦点，近地点 $A$（未画出）恰贴近地面。已知地球半径为 $R$，$OB=r$。 （1）求导弹在 $A$、$B$ 两点所受到的万有引力大小之比 $\frac{F_A}{F_B}$； （2）若导弹沿椭圆轨道运动，不计空气阻力，求导弹由 $A$ 经 $P$ 到 $B$ 点的时间 $t$（已知地球近地卫星的周期为 $T$）。

如图所示，在倾角为 $\theta$ 的斜面上固定一半径为 $R$ 的光滑圆环 $ABCD$，$A$ 为圆环最高点，$C$ 为圆环最低点，$BD$ 为水平直径，质量为 $m$ 的小滑块在斜面上贴着圆环内侧运动，已知重力加速度为 $g$。 (1) 若斜面光滑： ①当滑块静止在 $C$ 点时，求滑块所受到的弹力 $F$； ②在 $C$ 点给滑块沿圆环切线方向的初速度 $v_0$，滑块恰能通过 $A$ 点，求 $v_0$ 的大小； (2) 若 $BD$ 所在直线上方斜面光滑、下方斜面粗糙，滑块与斜面间动摩擦因数 $\mu=\tan\theta$。在 $A$ 点给滑块沿圆环切线向左的初速度 $v$，之后要使滑块不脱离圆环，求初速度 $v$ 应满足的条件。

小渝骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2 分钟，乙马过河需 3 分钟，丙马过河需 6 分钟，丁马过河需 7 分钟。每次最多两匹马同时过河，要把 4 匹马都赶到对岸去，最少需要____分钟。

老师在黑板上写了若干个从 1 开始的连续正整数：$1,2,3,4,\dots$，然后擦掉其中一个，剩下数的平均数是 $13\frac{9}{13}$，那么擦掉的数是________。

设正整数 $S$ 可以表示成 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n (2 \leqslant n \leqslant S)$ 之和，且 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$，用所有满足上述条件的数组 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成集合 $\Omega_S = \{a \mid a = (a_1, a_2, \cdots, a_n)\}$。对于 $a = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \Omega_S$，记 $T_a = a_1 a_2 \cdots a_n (2 \leqslant n \leqslant S)$，集合 $G_S = \{T_a \mid a \in \Omega_S\}$ 中元素的最大值为 $M_S$。 (1) 直接写出 $\Omega_4$ 中 $T_a > 2$ 的所有元素； (2) 对于 $a = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \Omega_S$： (i) 若 $1 < a_i < a_{i+1} (1 \leqslant i \leqslant n-1)$，求证：$a_i a_{i+1} \leqslant (a_i + 1)(a_{i+1} - 1)$； (ii) 直接写出 $M_{12}, M_{13}$； (3) 求 $M_{2026}$，并写出 $\Omega_{2026}$ 中相应的所有元素。

已知实数 $x, y$ 满足 $-1 \leqslant 2x+3y \leqslant 2$ ，$-3 < x-y \leqslant 1$ ，则 $M = 3x+4y$ 的取值范围是（ ） A. $-2 < M \leqslant 3$ B. $-2 \leqslant M \leqslant 3$ C. $0 \leqslant M \leqslant 3$ D. $0 \leqslant M < 3$

《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点 $F$ 在半圆 $O$ 上，且 $OF \perp AB$，点 $C$ 在直径 $AB$ 上运动.过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 交半圆 $O$ 于点 $D$.设 $AC=a$，$BC=b$，则由 $FC \ge CD$ 可以直接证明的不等式为（ ） A. $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}(a>0,b>0)$ B. $a^2+b^2 \ge 2ab(a>0,b>0)$ C. $\frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a>0,b>0)$ D. $\sqrt{ab} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a>0,b>0)$

下列说法正确的是（ ） A. 若 $\frac{a}{c^2} < \frac{b}{c^2}$，则 $a < b$ B. 若 $a > b, c > d$，则 $a+c > b+d$ C. 若 $a > b, c > d$，则 $ac > bd$ D. 若 $a > b > 0, m > 0$，则 $\frac{b+m}{a+m} > \frac{b}{a}$