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真实进步案例 · 11 天

数学从 53 分，到 84 分

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1313道错题

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数学
错题 767 待掌握 452 已掌握 315
集合间的基本关系(45)一元二次不等式(40)基本不等式(39)
物理
错题 226 待掌握 151 已掌握 75
匀变速直线运动基本公式(55)平均速度与瞬时速度(47)匀变速直线运动推论(32)
化学
错题 140 待掌握 101 已掌握 39
离子方程式的书写(31)氧化还原反应的概念(23)氧化剂与还原剂(21)
语文
错题 17 待掌握 16 已掌握 1
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英语
错题 33 待掌握 31 已掌握 2
暂无标签
生物
错题 70 待掌握 45 已掌握 25
暂无标签
历史
错题 15 待掌握 15 已掌握 0
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地理
错题 27 待掌握 23 已掌握 4
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道法
错题 14 待掌握 14 已掌握 0
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3 · 高中 · 数学
二项分布期望与方差正态分布

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第 1 题原题裁剪图
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原题预览

某果园收获苹果的果实横径 $X$（单位：$\text{mm}$）服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，且 $P(X \leqslant 70) = \frac{1}{10}$，$P(X \leqslant 90) = \frac{9}{10}$。从收获的苹果中随机抽取 100 个，记其中果实横径在区间 $(70, 80]$ 的个数为 $\xi$，则 A. $P(70 < X \leqslant 80) = \frac{4}{5}$ B. $P(70 < X \leqslant 80) = \frac{2}{5}$ C. $E(\xi) = 60$ D. $D(\xi) = 24$

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正态分布对称性与二项分布结合法

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4 · 高中 · 数学
指数与对数运算对数函数指数函数函数的单调性

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原题预览

已知 $a, b, c \in \mathbf{R}$，满足 $\mathrm{e}^a = \ln b = \frac{1}{c}$，则 $a, b, c$ 的大小关系可能是 A. $a < b < c$ B. $a < c < b$ C. $c < a < b$ D. $c < b < a$

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特殊值法

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5 · 高中 · 数学
利用导数求极值离散型随机变量分布列

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某同学进行连续投篮练习，累计投中 3 次后结束练习。设该同学每次投中的概率均为 $p\,(0<p<1)$，记结束练习时其投篮的总次数为 $X$。 (1) 求 $P(X=4)$； (2) 已知 $k>3, k \in \mathbf{N}^*$。 ① 若 $p=\frac{1}{3}$，求当 $k$ 为何值时，$P(X=k)$ 最大； ② 若 $k$ 为常数，记函数 $f(p)=P(X=k)$，求 $f(p)$ 的极大值点。

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比值法与导数法

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6 · 高中 · 数学
含参函数的讨论不等式恒成立问题利用导数判断单调性构造函数法不等式证明（导数法）利用导数求最值

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-ax^2-bx-1$。 (1) 若 $a=0,b=1$，证明：$f(x)\geqslant 0$； (2) 若 $a=\frac{1}{2}$，且对任意 $x\geqslant 0,f(x)\geqslant 0$，求 $b$ 的取值范围； (3) 若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，求 $a+b$ 的最大值。

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导数法结合最值构造

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2 · 高中 · 化学
离子方程式的正误判断离子方程式的书写

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下列离子方程式书写正确的是（ ） A. 硝酸银与盐酸反应：$\text{AgNO}_3 + \text{Cl}^- = \text{AgCl}\downarrow + \text{NO}_3^-$ B. 氢氧化铜与硫酸溶液反应：$\text{Cu(OH)}_2 + 2\text{H}^+ = \text{Cu}^{2+} + 2\text{H}_2\text{O}$ C. 碳酸钙与盐酸反应：$\text{CO}_3^{2-} + 2\text{H}^+ = \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2\uparrow$ D. 硫酸铜溶液和氢氧化钡溶液反应：$\text{SO}_4^{2-} + \text{Ba}^{2+} = \text{BaSO}_4\downarrow$

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逐项分析法

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21 · 高中 · 物理
匀变速直线运动基本公式多过程问题

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一辆汽车以 $54\text{ km/h}$ 的速度在平直公路上匀速行驶，从此刻开始计时，汽车先做匀加速运动，后以大小为 $3\text{ m/s}^2$ 的加速度匀减速刹车，匀加速运动时间为 $10\text{ s}$，第 $10\text{ s}$ 末时汽车的速度大小为 $25\text{ m/s}$。求： (1) 汽车匀加速运动时的加速度大小； (2) 汽车从刹车到停下来所用的时间； (3) 汽车第 $15\text{ s}$ 末的速度大小。

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22 · 高中 · 物理
v-t图像

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[河南南阳六校 2025 高一上联考]一辆可视为质点的汽车在平直公路上运动的速度—时间关系图像如图所示，整个运动过程中加速度的大小始终为 $a$，下列说法正确的是 A. $2t_0$ 至 $3t_0$ 时间内汽车速度的变化量为 $2at_0$ B. 汽车的最大速度为 $5at_0$ C. 汽车的最大速度为 $4at_0$ D. 汽车停止运动的时刻为 $14t_0$

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23 · 高中 · 物理
匀变速直线运动基本公式多过程问题

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第 2 题原题裁剪图
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如图，滑雪轨道由光滑的倾斜直轨道 $AB$ 和粗糙的水平轨道 $BC$ 组成。$t=0$ 时运动员从 $A$ 点由静止开始匀加速下滑，经过 $B$ 点前后速度大小不变，之后在 $BC$ 上做匀减速直线运动，最后停在 $C$ 点。若第 $2\text{ s}$ 末和第 $6\text{ s}$ 末速度大小均为 $6\text{ m/s}$，第 $4\text{ s}$ 末速度大小为 $10\text{ m/s}$。 (1) 运动员何时恰好停在 $C$ 点？ (2) 运动员何时恰好经过 $B$ 点？ (3) 求运动员运动过程中的最大速度的大小。

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24 · 高中 · 物理
匀变速直线运动基本公式匀变速直线运动推论多过程问题v-t图像

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如图甲所示，小球从光滑斜面上的 $A$ 点由静止开始做匀加速直线运动，小球在 $B$ 点与挡板发生碰撞（碰撞时间忽略不计），然后沿着斜面向上运动，$v-t$ 图像如图乙所示，$v-t$ 图像中的图线相互平行。已知小球每次与挡板发生碰撞时，碰后的速度大小都变为碰前速度大小的一半。规定沿斜面向下为正方向。求： (1) 小球在第 $10\text{ s}$ 末的速度； (2) 小球与挡板第二次碰撞过程的速度变化量。

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14 · 高中 · 数学
全称量词与存在量词一元二次不等式命题的否定不等式恒成立问题

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若“$\exists x \in \mathbf{R},\ mx^2+2mx+1 < 0$”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是______。

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