已知函数 $f(x)=x-\frac{3}{x}$. (1) 判断函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性，并用单调性定义证明； (2) 求不等式 $-2 \leqslant f(x) \leqslant 2$ 的解集.

[河北保定 2026 高一期中] 函数 $y = \sqrt{x^2+x-6}$ 的单调递增区间为 ( ) A. $\left[-\frac{1}{2}, +\infty\right)$ B. $[2, +\infty)$ C. $(-\infty, -3]$ D. $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$

（多选）函数 $y=f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的减函数，且 $0<x_1<x_2$，则下列选项正确的是 A. $f(x_1)>f(x_2)$ B. $f(x_1)-f(x_2)>0$ C. $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0$ D. $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$

如图是函数 $y=f(x)$ 的图象，其定义域为 $[-2, +\infty)$，则函数 $f(x)$ 的单调递减区间是（　　） A. $[-1, 0)$ B. $[1, +\infty)$ C. $[-1, 0), [1, +\infty)$ D. $[-1, 0) \cup [1, +\infty)$

[福建泉州 2025 高一段考] 已知函数 $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}$，则不等式 $f(x+1)>f(2x)$ 的解集为（　　） A. $(-\infty, 1)$ B. $(-\infty, 1]$ C. $\left[-\frac{1}{2}, 0\right]$ D. $\left[-\frac{1}{2}, 1\right)$

定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：①当 $x>1$ 时，$f(x)>0$；②对任意实数 $x,y$ 都有 $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$． (1) 证明：当 $0<x<1$ 时，$f(x)<0$； (2) 判断 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性； (3) 解不等式 $f(x+1)+f(2x-3)>0$．

[山东青岛 2026 高一质量检测] 已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$，对于任意的 $x_1, x_2$，且 $x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>1$，$f(2)=4$，则不等式 $f(x^2-x)<x^2-x+2$ 的解集是（ ） A. $(-1,2)$ B. $(-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$ C. $(-2,1)$ D. $(-\infty,-2) \cup (1,+\infty)$

如图甲电路中，$R_0$ 为定值电阻，$R_1$ 为滑动变阻器。图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系图像，则滑动变阻器最大阻值是＿＿＿＿ $\Omega$，电源电压是＿＿＿＿ $\mathrm{V}$。

小明用如图所示电路来测量小灯泡的电功率。 (1) 请用笔画线代替导线将图中滑动变阻器连入电路，使之接入电路的阻值最大； (2) 实验中，小明发现无论怎样调节滑动变阻器，两电表指针始终处于图所示位置，则接线柱＿＿＿＿间（填数字编号）出现了＿＿＿＿； (3) 故障排除后，小明从滑动变阻器接入电路阻值最大时开始记录数据，得到小灯泡 U-I 图像如图所示，则小灯泡的额定功率是＿＿＿＿W，所用滑动变阻器的规格是下列四个选项中的＿＿＿＿（选填选项前字母）； A “$5\,\Omega\ 2\text{A}$”　B “$15\,\Omega\ 2\text{A}$”　C “$25\,\Omega\ 2\text{A}$”　D “$30\,\Omega\ 2\text{A}$” (4) 在某次调节中，滑动变阻器接入电路的阻值减小了 $\Delta R_1$，小灯泡的阻值变化了 $\Delta R_2$，则 $\Delta R_1$＿＿＿＿$\Delta R_2$（选填“$>$”、“$<$”或“$=$”），你的理由是：＿＿＿＿。

如图甲，是小凯连接的测量标有电压为 2.5V 的某小灯泡额定功率的实验电路，图中的①～⑤是部分导线的序号，A～N 是部分接线柱的编号。 (1) 只改接一根导线，就能改正电路中的错误。改正方法：＿＿＿＿。 (2) 连好电路闭合开关，移动滑片，发现小灯泡始终不亮，电流表有示数，电压表示数为零，则出现故障的原因可能是＿＿＿＿。 (3) 检查无误后，闭合开关，移动滑片，使电压表示数为 2.5V，电流表读数如图乙，小灯泡额定功率是＿＿＿＿W。移动滑片，灯泡电压逐次下降，灯丝温度也不断降低，测量数据如表。对比不同电压下的阻值，把你的发现写成概括性的一句话：＿＿＿＿。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{实验次数} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{发光情况} & \text{明亮} & \text{较亮} & \text{不很亮} & \text{较暗} & \text{微光} & \text{熄灭} \\ \hline \text{电压 } U/\text{V} & 2.5 & 2.1 & 1.7 & 1.3 & 0.9 & 0.5 \\ \hline \text{电流 } I/\text{A} & & 0.26 & 0.24 & 0.21 & 0.19 & 0.16 \\ \hline \end{array}$$ (4) 同组小明想通过实验来比较灯泡“实际电压是额定电压一半时的电功率 $P_1$”和“实际电流是额定电流一半时的电功率 $P_2$”的大小，但小明的同学没有通过实验也比较出了它们的大小，$P_1$ 应＿＿＿＿$P_2$（选填“大于”、“小于”或“等于”）。