在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，$\angle ABC=60^\circ$，$BC=2$，点 $D$ 在射线 $CB$ 上，连 $AD$，将 $AD$ 逆时针旋转 $60^\circ$ 得 $AE$，连 $CE$，当 $CE$ 最小时，求 $CD$ 的长.

26. (8分) 小东在探究“电流通过导体产生的热量与哪些因素有关”时，用甲、乙两个完全相同的烧瓶装入质量相等的煤油，且分别插入两只相同的温度计，组装成如图所示的电路。已知两个烧瓶中电热丝 A、B 的电阻分别为 $R_A=5\,\Omega$、$R_B=10\,\Omega$。 (1) 利用如图 1 所示的装置及电路图进行探究，目的是为了控制＿＿＿＿相同；甲、乙两瓶装有质量相同的煤油，其目的是可以用＿＿＿＿反映电热丝放出的热量。 (2) 闭合开关一段时间后，小东发现甲、乙两瓶中温度计示数均无变化。为了排除电路故障，他用量程为 $0\sim 3\text{V}$ 的电压表进行检查判断。他将电压表的正接线柱与 a 接线柱连接，当电压表的负接线柱分别与 b、c、d、e、f 连接时都无示数，与 g、h、i 连接时示数都达到了最大值，若电路中只有一处故障，根据以上信息可判断出哪处发生了什么故障？＿＿＿＿。 (3) 某实验小组利用如图 2 所示的五个阻值为 $5\,\Omega$ 的电阻（其中乙容器中两个 $5\,\Omega$ 的电阻首尾相连）和三个封闭有等量空气的透明容器，探究“电流通过导体产生热量的影响因素”实验，若不计热量损失，通电后三个容器中的空气吸收的热量，最多的是最少的＿＿＿＿倍。

琴琴在实验室测量小灯泡的额定功率，器材有：小灯泡（额定电压为 2.5V，正常发光时灯丝电阻约为 $10\,\Omega$、电源（电压恒为 6V）、电流表、电压表、开关各一个，导线若干。 (1) 闭合开关后，发现无论如何移动滑片，电压表示数都很大，电流表几乎无示数，出现的电路故障可能是＿＿＿＿； (2) 滑片 P 滑到图甲中某一位置时，电压表示数如图乙所示，若琴琴想测量小灯泡的额定功率，应将图甲中滑片 P 向＿＿＿＿（选填“A”或“B”）端移动，根据图丙图像信息，可计算出小灯泡的额定功率是＿＿＿＿W。 (3) 根据丙图像信息，灯泡的 U-I 图为什么不是一条直线？原因：＿＿＿＿。 (4) 灯泡实际电压为额定电压一半时的实际功率为 $P_1$，灯泡实际电流为额定电流一半时的实际功率为 $P_2$，通过丙图分析，$P_1$＿＿＿＿（选填“大于”“小于”或“等于”）$P_2$。 (5) 在测定小灯泡额定功率的实验中，现有如下器材：额定电压为 $U_0$ 的小灯泡、电源（电压未知）、一个阻值为 $R$ 的电阻、一个滑动变阻器、一只电流表、一个单刀双掷开关和若干导线。实验时不能忽略灯丝的电阻随温度的变化，设计的实验电路图如图丁所示，测量小灯泡额定功率的主要步骤和需要测量的物理量如下： ① S 掷向接线柱 1，调节滑动变阻器，使电流表的示数为＿＿＿＿； ② 保持滑动变阻器滑片不动，S 掷向接线柱 2，读出电流表示数 $I$； ③ 本实验中，小灯泡额定功率的表达式 $P=$＿＿＿＿（以上两空均用已知量和测量量表示）。

(5) 在测定小灯泡额定功率的实验中，现有如下器材：额定电压为 $U_0$ 的小灯泡、电源（电压未知）、一个阻值为 $R$ 的电阻、一个滑动变阻器、一只电流表、一个单刀双掷开关和若干导线。实验时不能忽略灯丝的电阻随温度的变化，设计的实验电路图如图丁所示，测量小灯泡额定功率的主要步骤和需要测量的物理量如下： ① S 掷向接线柱 1，调节滑动变阻器，使电流表的示数为＿＿＿＿； ② 保持滑动变阻器滑片不动，S 掷向接线柱 2，读出电流表示数 $I$； ③ 本实验中，小灯泡额定功率的表达式 $P =$＿＿＿＿（以上两空均用已知量和测量量表示）。

【问题提出】如图 1，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle C=90^\circ$，小明同学在研究这个四边形时，发现“这个四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下：\n如图 2，连接对角线 $BD$，取 $BD$ 中点 $O$，可得 $OB=OD=\frac{1}{2}BD$，连接 $OA$，$OC$．\n$\because \angle BAD=\angle BCD=90^\circ$，＿＿＿＿，\n$\therefore OA=\frac{1}{2}BD$，$OC=$＿＿＿＿，\n$\therefore OA=OB=OC=OD$，\n$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$B$，$C$，$D$ 均在以点 $O$ 为圆心，$BD$ 为直径的圆上．\n(1) 请补全小明同学的证明过程．\n【问题探究】\n(2) 如图 3，在四边形 $ABCD$ 中，点 $P$ 在对角线 $BD$ 上，连接 $AP$、$CP$，若 $\angle BCP=\angle BDC$，$\angle BAP=\angle BDA$，试判断线段 $AB$ 与 $BC$ 是否相等？并说明理由．\n【问题解决】\n(3) 如图 4，四边形 $ABCD$，$\angle C=2\angle D$，$AH\perp CD$，垂足为 $H$，$BP\perp AB$，且 $CH=CB$，请你探究线段 $PD$ 与 $CH$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

已知淀粉溶于水后，淀粉粒子的直径在 $10^{-9} \sim 10^{-7}\text{ m}$ 之间。现有两瓶溶液标签模糊不清，只知道分别盛有淀粉溶液和氯化钠溶液。试用多种方法区别开来。 方法一：＿＿＿＿。 方法二：＿＿＿＿。 方法三：＿＿＿＿。

将制取的 $\text{Fe(OH)}_3$ 胶体倒入 U 形管并外加直流电源，通电一段时间后发生的现象是阴极(与电源负极相连的电极)附近液体颜色变深，阳极(与电源正极相连的电极)附近液体颜色逐渐变浅。请你根据上述事实，对 $\text{Fe(OH)}_3$ 胶体粒子的带电情况提出合理猜想。＿＿＿＿

计算下列各式的值： (1) 已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$，求 $\frac{a^{\frac{3}{2}} - a^{-\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}}$； (2) $27^{\frac{2}{3}} - 2^{\log_2 3} \times \log_2 \frac{1}{8} + 2\lg\left(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}\right)$； (3) $\log_{2.5} 6.25 + \lg 0.01 + \ln \sqrt{\text{e}} - 2^{1+\log_2 3}$。

已知命题 $p: \exists x \in \{x \mid 1 \le x \le 3\}, x + \frac{4}{x} - m \le 0$，命题 $q: \forall x \in \mathbf{R}, x^2 - mx + 2m > 0$。 (1) 若命题 $p$，$q$ 中，全称量词命题为真，求实数 $m$ 的取值范围。 (2) 若命题 $p$，$q$ 中有且仅有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围。

已知关于 $x$ 方程 $x^2+2(m-1)x+2m+6=0$ (1) 若方程有两个根且都大于 1，求实数 $m$ 的取值范围 (2) 若方程至少有一个正根，求实数 $m$ 的取值范围