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真实进步案例 · 11 天

数学从 53 分，到 84 分

9 月 9 日 53 分 → 9 月 16 日 57 分 → 9 月 20 日 84 分，持续整理错题后的进步一目了然。

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1300道错题

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数学
错题 754 待掌握 439 已掌握 315
集合间的基本关系(43)基本不等式(38)一元二次不等式(37)
物理
错题 226 待掌握 151 已掌握 75
匀变速直线运动基本公式(55)平均速度与瞬时速度(47)匀变速直线运动推论(32)
化学
错题 140 待掌握 101 已掌握 39
离子方程式的书写(31)氧化还原反应的概念(23)氧化剂与还原剂(21)
语文
错题 17 待掌握 16 已掌握 1
暂无标签
英语
错题 33 待掌握 31 已掌握 2
暂无标签
生物
错题 70 待掌握 45 已掌握 25
暂无标签
历史
错题 15 待掌握 15 已掌握 0
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地理
错题 27 待掌握 23 已掌握 4
暂无标签
道法
错题 14 待掌握 14 已掌握 0
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9 · 高中 · 数学
新定义问题集合的交集运算

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第 1 题原题裁剪图
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设 $M$、$P$ 是两个非空集合，定义 $M$ 与 $P$ 的差集为 $M-P=\{x \mid x \in M \text{ 且 } x \notin P\}$，则 $M-(M-P)$ 等于 ( ) A. $P$ B. $M$ C. $M \cap P$ D. $M \cup P$

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11 · 高中 · 数学
集合的补集运算集合间的基本关系新定义问题集合的概念与表示

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第 1 题原题裁剪图
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设集合 $M$ 为实数集 $\mathbf{R}$ 的非空子集. 若对任意 $x, y \in M$，都有 $x+y, x-y, xy \in M$，则称 $M$ 为封闭集. 以下结论正确的有 A. $M = \{x \mid x = a + \sqrt{2}b, a, b \in \mathbf{Z}\}$ 为封闭集 B. 若 $M$ 为封闭集，则一定有 $0 \in M$ C. 若 $M$ 为封闭集，则满足 $M \subseteq T \subseteq \mathbf{R}$ 的任意集合 $T$ 也是封闭集 D. 存在集合 $A \subseteq \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q}$，$A$ 为封闭集

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10 · 高中 · 数学
集合的交集运算

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第 2 题原题裁剪图
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集合 $A = \{x \mid -12 \le x \le 15\}$，集合 $B = \{x \mid m+1 \le x \le 2m-1\}$，若 $A \cap B \ne \emptyset$，则实数 $m$ 的取值范围是______

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12 · 高中 · 数学
不等式的性质

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已知 $x>y>z$，$x+y+z=0$，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. $xy>yz$ B. $xz>yz$ C. $xy>xz$ D. $x|y|>z|y|$

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13 · 高中 · 数学
集合的补集运算集合间的基本关系充分条件与必要条件集合的交集运算

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设集合 $A = \{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 2\}$，集合 $B = \{x \mid 2m < x < 1\}$。 (1) 若 $B \neq \varnothing$，且“$x \in A$”是“$x \in B$”的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围； (2) 若 $B \cap (\complement_{\mathbf{R}} A)$ 中只有一个整数，求实数 $m$ 的取值范围。

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1 · 初中 · 数学
二次函数与一元二次方程平行四边形的判定待定系数法求二次函数解析式二次函数与几何综合（存在性问题）二次函数的性质（顶点坐标）一元二次方程的解法（公式法）一元二次方程的解法（因式分解法）特殊角的三角函数值

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25. (10分) 如图所示，抛物线 $y = ax^2 + bx + 3$ 经过点 $A(-1, 0)$ 和点 $B(2, 3)$。 (1) 求抛物线解析式和顶点 $D$ 的坐标； (2) 若直线 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ 与抛物线交于点 $A$，$C$，点 $P$ 在抛物线上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $AC$ 于 $E$，抛物线的对称轴与直线 $AC$ 交于 $F$。 ① 设点 $P$ 的横坐标为 $m$，当以点 $P$，$D$，$E$，$F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求 $m$ 的值； ② 在直线 $AC$ 上方的抛物线上是否存在点 $P$，满足 $\angle PCA = 45^\circ$，若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由。

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几何构造与方程结合法

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1 · 初中 · 数学
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$A = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \cdots + \frac{11}{21}$ 的整数部分是 $\underline{\hspace{1cm}}$。

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拆项放缩法

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44 · 高中 · 数学
不等式恒成立问题一元二次不等式全称量词与存在量词

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已知命题 $p$: 任意 $x \in \{x \mid 1 \le x \le 2\}$, $x^2 - a \ge 0$, 命题 $q$: 存在 $x \in \mathbf{R}$, $x^2 + 2ax + 2 - a = 0$。若命题 $p$ 与 $q$ 都是真命题，求实数 $a$ 的取值范围。

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2 · 初中 · 数学
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有若干个小朋友，他们的年龄各不相同. 将他们的年龄分别代入方框中都能使不等式成立，这些小朋友最多有____个. $$\frac{1}{2} < \frac{5}{\square} < \frac{3}{4}$$

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化同分子法

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3 · 初中 · 数学
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如果用符号“[a]”表示数字 $a$ 的整数部分，例如 $[5.7]=5$，$\left[\frac{5}{3}\right]=1$，那么 $$\left[\frac{1}{\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}+\dots+\frac{1}{2039}}\right]=\underline{\quad\quad}.$$

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放缩法（不等式估算法）

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