从自然数$1,2,3,\dots$里，去掉完全平方数和完全立方数，得到新数列，求这个数列的第 50 个数。

图片过于残缺或模糊，未包含任何可识别的题目文本、已知条件或问题。

我们约定：当 $x_1$，$y_1$，$x_2$，$y_2$ 满足 $(x_1-y_2)^2+(x_2-y_1)^2=0$，且 $x_1-y_1 \neq 0$ 时，则称点 $(x_1,y_1)$ 与点 $(x_2,y_2)$ 为一对“互换点”. 若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”. 请你根据该约定，解答下列问题： (1) 若点 $A(2,m)$ 与点 $B(-1,n)$ 是关于 $x$ 的“互换函数” $y=tx^2+3$ ($t \neq 0$，$t$ 是常数) 的图象上的一对“互换点”，则 $m=\underline{\hspace{2cm}}$，$n=\underline{\hspace{2cm}}$，$t=\underline{\hspace{2cm}}$ (将正确答案填在相应的横线上)； (2) 若关于 $x$ 的一次函数 $y_1=k_1x+b_1$ 与 $y_2=k_2x+b_2$ ($b_1$，$b_2$ 都是常数，且 $b_1 \cdot b_2 < 0$) 均是“互换函数”，函数 $y_1$ 的图象与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$，函数 $y_2$ 的图象与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $C$，$D$，求四边形 $ABCD$ 的面积 (用 $b_1$，$b_2$ 表示)； (3) 若点 $M$，$N$ 为关于 $x$ 的“互换函数” $y=ax^2+bx$ ($a>0$，$a$，$b$ 是常数) 的图象上的一对“互换点”，且直线 $MN$ 过点 $(1,1)$，则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由.

定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如 $(1, 3)$，$(-2, -6)$，$(\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ 都是“纵三倍点”． (1) 下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ＿＿＿＿；(填序号) ① $y = -2x + 1$；② $y = x^2 + x + 1$． (2) 已知抛物线 $y = x^2 + mx + n$ ($m, n$ 均为常数) 与直线 $y = x + 4$ 只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；

如图，抛物线 $y = -\frac{1}{4}x^2 - x + c(-6 \le x \le 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-6, 0)$。点 $P(t, y_1)$，$Q(t+3, y_2)$ 是抛物线上两点，当 $t \le x \le t+3$ 时，二次函数最大值记为 $y_{\text{最大值}}$，最小值记为 $y_{\text{最小值}}$，设 $m = y_{\text{最大值}} - y_{\text{最小值}}$，则 $m$ 的取值范围是（　　） A. $\frac{9}{16} \le m \le \frac{9}{4}$ B. $\frac{9}{4} \le m \le \frac{15}{4}$ C. $\frac{9}{16} \le m \le 1$ D. $\frac{9}{16} \le m \le \frac{15}{4}$

已知关于 $x$ 的函数 $y=(m-1)x^2+2x+m$ 图象与坐标轴只有 $2$ 个交点，则 $m=$＿＿＿＿.

城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市交通问题的有效途径．小文了解到列车从丰潭路站开往文新站时，在距离停车线 256 米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小文通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离 $s$（米）与滑行时间 $t$（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． 【收集整理数据】 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline t\text{ (秒)} & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 \\\hline s\text{ (米)} & 256 & 196 & 144 & 100 & 64 & 36 & m \\\hline\end{array}$$ 建立平面直角坐标系 为了观察 $s$（米）与 $t$（秒）的关系，建立如图 2 所示的平面直角坐标系．描点连线． 【建立模型】 (1) 观察这条曲线的形状，它可能是＿＿＿＿函数的图象． 表格中 $m = $ ＿＿＿＿ (2) 求函数解析式． 【应用模型】 (3) 列车从减速开始经过多少秒，列车停止？ 最后两秒钟，列车滑行的距离为多少米？

二次函数 $y=ax^2+bx+3\ (a\neq 0)$ 的图象经过四点：$A(-1, m)$，$B(1, n)$，$C(2, 3)$，$D(4, p)$． (1) 若 $m=4$， ①求二次函数的表达式； ②已知 $x\leqslant 2k-3$ 时，$y$ 随着 $x$ 的增大而减小，求 $k$ 的最大值． (2) 若 $m, n, p$ 这三个定数中，有且只有一个是负数，求 $a$ 的取值范围．

如图，已知四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，延长 $BA$，$CD$ 交于点 $P$。若 $AD=3$，$BC=5\sqrt{3}$，$\angle P=30^\circ$，则圆的半径为＿＿＿＿。

已知抛物线 $y=x^2-2mx\ (-1\le m\le 2)$ 经过点 $A(p, t)$ 和点 $B(p+2, t)$，则 $t$ 的最小值是＿＿＿＿.