(1) 已知正数 $x$、$y$ 满足 $x+y=1$，求 $\frac{1}{x} + \frac{4}{1+y}$ 的最小值； (2) 求函数 $y = \frac{x^2+7x+10}{x+1}\,(x > -1)$ 的最小值.

24. (12分)【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形. (1) 如图1, 已知在垂等四边形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$, 若 $AB \perp AD$, $AB = 4\text{cm}$, $AD = 3\text{cm}$, 求 $AC$ 的长度. 【数学理解】 (2) 在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中, 小李与同学讨论出了如下方法: 如图2, 在 $\odot O$ 中, 已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的弦, 只需作 $OD \perp OA$, $OC \perp OB$, 分别交 $\odot O$ 于点 $D$ 和点 $C$, 即可得到垂等四边形 $ABCD$, 请你写出证明过程. 【问题解决】 (3) 如图3, 已知 $A$ 是 $\odot O$ 上一定点, $B$ 为 $\odot O$ 上一动点, 以 $AB$ 为一边作出 $\odot O$ 的内接垂等四边形 ($A, B$ 不重合且 $A, B, O$ 三点不共线), 对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$, $\odot O$ 的半径为 $4\sqrt{2}$, 当点 $E$ 到 $AD$ 的距离为 $2\sqrt{3}$ 时, 求弦 $AB$ 的长度.

已知，如图甲，在 $\triangle ABC$ 中，$AE$ 平分 $\angle BAC$（$\angle C > \angle B$），$F$ 为 $AE$ 上一点，且 $FD \perp BC$ 于 $D$． (1) 试说明：$\angle EFD = \frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$； (2) 当 $F$ 在 $AE$ 的延长线上时，如图乙，其余条件不变，(1) 中的结论还成立吗？请说明理由．

$\frac{3}{5} \div \frac{12}{25} =$

如图，大正方形的周长是 $64\text{ cm}$，阴影部分的面积是（＿＿＿＿）$\text{cm}^2$。 A. 128 B. 36 C. 160 D. 144

$1 \div 0.125 =$

$$1\frac{5}{8}-\frac{3}{5}+\frac{2}{8}-\frac{2}{5}$$

$0.3^2 = $

武夷岩茶是中国传统名茶，是具有岩韵品质特征的乌龙茶。茶农伯伯要把 $200$ 千克武夷岩茶装袋出售，今天已经装了总量的 $\frac{2}{5}$，如果每袋装 $\frac{4}{5}$ 千克，那么今天已经装了多少袋？

商场进了一批外套开展促销活动。第一天卖出 20 件，第二天卖出总量的 $\frac{1}{5}$，第三天卖出 8 件，剩下的外套正好是总量的 $\frac{1}{3}$。商场共进了多少件外套？