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真实进步案例 · 11 天

数学从 53 分，到 84 分

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1314道错题

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数学
错题 767 待掌握 452 已掌握 315
集合间的基本关系(45)一元二次不等式(40)基本不等式(39)
物理
错题 226 待掌握 151 已掌握 75
匀变速直线运动基本公式(55)平均速度与瞬时速度(47)匀变速直线运动推论(32)
化学
错题 141 待掌握 102 已掌握 39
离子方程式的书写(31)氧化还原反应的概念(23)氧化剂与还原剂(21)
语文
错题 17 待掌握 16 已掌握 1
暂无标签
英语
错题 33 待掌握 31 已掌握 2
暂无标签
生物
错题 70 待掌握 45 已掌握 25
暂无标签
历史
错题 15 待掌握 15 已掌握 0
暂无标签
地理
错题 27 待掌握 23 已掌握 4
暂无标签
道法
错题 14 待掌握 14 已掌握 0
暂无标签
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16 · 高中 · 数学
一元二次不等式全称量词与存在量词不等式恒成立问题

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第 1 题原题裁剪图
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第 1 题原题裁剪图

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设命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}, ax^2 + ax + 1 > 0$；命题 $q: \exists x \in [-1, 1], 2x + a < 0$。 (1) 若 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围； (2) 若 $p, q$ 中有且仅有一个为真命题，求实数 $a$ 的取值范围。

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17 · 高中 · 数学
集合的交集运算集合的并集运算集合间的基本关系绝对值不等式集合的补集运算

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第 1 题原题裁剪图
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已知集合 $A=\{x \mid |x-1| \le 2\}$，集合 $B=\{x \mid m-1 \le x \le 2m\}\ (m \in \mathbf{R})$。 (1) 当 $m=3$ 时，求 $A \cap B$； (2) 若 $A \cup (\complement_{\mathbf{R}} B) = \mathbf{R}$，求实数 $m$ 的取值范围。

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12 · 高中 · 数学
三角形中的最值与范围辅助角公式正弦定理边角互化余弦定理

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在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边为 $a, b, c$，若 $\frac{\sin B \sin C}{3\sin A} = \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos C}{c}$ 且 $\sin^2 A + \sin^2 B - \sin^2 C = \sin A \sin B$，则 $\frac{c^2}{a+b}$ 的取值范围是（ ） A. $[\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$ B. $(6, 4\sqrt{3}]$ C. $[2\sqrt{3}, 6)$ D. $[\sqrt{3}, 2)$

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三角函数化一法

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13 · 高中 · 数学
三角形中的最值与范围正弦定理边角互化

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在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，$A = 60^\circ$，$a = 3$，则 $\triangle ABC$ 的两边长度和 $b + c$ 的取值范围是 $\underline{\quad\quad}$

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正弦定理三角函数法

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14 · 高中 · 数学
向量的坐标运算辅助角公式平面向量基本定理

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原题预览

已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，四个半圆的圆心为正方形 $ABCD$ 各边的中点(如图)，若 $P$ 在 $\overset{\frown}{BC}$ 上，且 $\vec{AP} = \lambda\vec{AB} + \mu\vec{AD}$，则 $\lambda + \mu$ 的最大值为______.
原题配图 1

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坐标法与三角代换

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15 · 高中 · 数学
函数零点问题数列放缩证明不等式证明（导数法）利用导数求最值

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已知函数 $f(x) = kx - \ln x - 1 (k > 0)$. (1) 若函数 $f(x)$ 有且只有一个零点，求实数 $k$ 的值； (2) 求证：当 $n \in \mathbf{N}^*$ 时，$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1)$.

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导数最值法与放缩累加法

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129 · 高中 · 数学
基本不等式一元二次不等式

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某洗衣店今年年初用 36 万元购进一台新设备. 已知使用 $x$ 年 ($x \in \mathbf{N}^*$) 所需的总维护费用为 $(4x^2+2x)$ 万元, 经估算该设备每年可为洗衣店创造收入 32 万元. 设该设备使用 $x$ 年的盈利总额为 $y$ 万元 (盈利总额=总收入-成本-总维护费用). (1) 该店从第几年开始盈利？ (2) 若若干年后, 该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时, 以 22 万元的价格卖出设备, 请问总获利为多少？(总获利=盈利总额+设备卖出价格)

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130 · 高中 · 数学
命题的否定不等式恒成立问题一元二次不等式全称量词与存在量词

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已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}$，不等式 $2tx^2 + 2tx + 1 > 0$ 恒成立，命题 $q$: 关于 $x$ 的方程 $x^2 - 4x + t = 0$ 有两个不相等的正实数根. (1) 若命题 $p$ 为真命题，求实数 $t$ 的取值范围； (2) 若命题 $p, q$ 均为假命题，求实数 $t$ 的取值范围.

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131 · 高中 · 数学
基本不等式函数的值域

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根据题意，求解下列问题： (1) 已知 $x>0,y>0$，且满足 $x+8y=xy$，求 $x+2y$ 的最小值； (2) 已知 $x>1$，求 $y=\frac{x^2+3x}{x-1}$ 的最小值； (3) 已知 $a>0,b>0,c>0,a+b+c=1$，求 $a^2+b^2+c^2+4ab+\frac{7}{2}bc+\frac{7}{2}ac$ 的最大值.

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4 · 初中 · 数学
多项式

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李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述。 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为 $-4$； 小华：这个代数式的常数项是 $5$。 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（ ） A. $x^2 + 4x^2y^2 + 5$ B. $4x^5 - 4x^2y^2 + 5$ C. $3x^3 - 4xy^3 - 5$ D. $-2x^3 - 4xy^3 + 5$

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逐项排除法

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