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真实进步案例 · 11 天

数学从 53 分，到 84 分

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1314道错题

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数学
错题 767 待掌握 452 已掌握 315
集合间的基本关系(45)一元二次不等式(40)基本不等式(39)
物理
错题 226 待掌握 151 已掌握 75
匀变速直线运动基本公式(55)平均速度与瞬时速度(47)匀变速直线运动推论(32)
化学
错题 141 待掌握 102 已掌握 39
离子方程式的书写(31)氧化还原反应的概念(23)氧化剂与还原剂(21)
语文
错题 17 待掌握 16 已掌握 1
暂无标签
英语
错题 33 待掌握 31 已掌握 2
暂无标签
生物
错题 70 待掌握 45 已掌握 25
暂无标签
历史
错题 15 待掌握 15 已掌握 0
暂无标签
地理
错题 27 待掌握 23 已掌握 4
暂无标签
道法
错题 14 待掌握 14 已掌握 0
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7 · 高中 · 数学
充分条件与必要条件不等式的性质

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对任意实数 $a$，$b$，$c$ 在下列命题中，真命题是（\quad） A. “$ac > bc$”是“$a > b$”的必要条件 B. “$ac = bc$”是“$a = b$”的必要条件 C. “$\frac{a}{c^2} > \frac{b}{c^2}$”是“$a > b$”的充分条件 D. 对 $c \in \mathbf{R}$，“$\frac{a}{c^2} = \frac{b}{c^2}$”是“$a = b$”的充要条件

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充分必要条件定义推导法

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9 · 高中 · 数学
集合间的基本关系集合的概念与表示

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第 1 题原题裁剪图
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设集合 $A = \left\{x \in \mathbf{Z} \mid \frac{12}{x+3} \in \mathbf{N}\right\}$，则集合 $A$ 的真子集个数为________.

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元素列举与子集公式法

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8 · 高中 · 数学
基本不等式

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解答下列各题. (1)若 $x > 3$，求 $x + \frac{4}{x-3}$ 的最小值. (2)若正数 $x$，$y$ 满足 $9x + y = xy$， ①求 $xy$ 的最小值. ②求 $2x + 3y$ 的最小值.

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基本不等式法

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10 · 高中 · 数学
集合间的基本关系集合的并集运算充分条件与必要条件集合的交集运算集合的补集运算

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已知集合 $A = \{x \mid x < 1 \text{ 或 } x > 3\}$，$B = \{x \mid 2m - 3 < x < m + 2\}$。 (1) 若 “$x \in \complement_{\mathbf{R}} A$” 是 “$x \in B$” 的充分条件，求 $m$ 的取值范围； (2) 若 $A \cup B = A$，求 $m$ 的取值范围； (3) 若集合 $(\complement_{\mathbf{R}} A) \cap B$ 的元素中有且只有两个是整数，求 $m$ 的取值范围。

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数轴分析法

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11 · 高中 · 数学
基本不等式不等式恒成立问题

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某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室. 由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元. 设屋子的左、右两面墙的长度均为$x$米($2 \le x \le 6$). (1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为$\frac{1800a(1+x)}{x}$元($a > 0$)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数$a$的取值范围.

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分离参数与换元法

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12 · 高中 · 数学
数列放缩证明不等式的性质

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假设$a$克糖水中含有$b$克糖，若再添加$m$克糖(其中$a>b>0$，$m>0$)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用(1)提炼的不等式证明：若$a$，$b$，$c$为三角形的三边长，则$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2$； (3)求证：$\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}\times\dots\times\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，$n\in\mathbf{N}^*$且$n\ge 2$．

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放缩构造相乘法

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87 · 小学 · 数学
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如果 3 个自然数之和为 23，则这 3 个自然数之积的最大值为（ ）。 A、448 B、504 C、300 D、23

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90 · 小学 · 数学
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$\frac{10}{13} \div 2\frac{19}{22} - 1\frac{2}{5} \times \frac{11}{13} \div 7 + \frac{1}{5} \times \frac{22}{63}$

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89 · 小学 · 数学
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在 1，2，3，...，2000，这 2000 个自然数中，有（ ）个自然数同时是 2 和 3 的倍数，但不是 5 的倍数。

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88 · 小学 · 数学
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分子与分母的积是 48 的最简真分数有（ ）。

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