循环小数$0.1\dot{5}$可化分数为______。

某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去1个，2个小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，请你计算经过n 个小时后，细胞存活的个数为______个(结果用含n 的代数式表示)

电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“$9\frac{3}{4}$站台”的镜头(如示意图的Q站台)，构思奇妙，能给观众留下深刻的印象。若A、B站台分别位于$-\frac{2}{3},\frac{8}{3}$处，$AP=2PB$，则P站台用类似电影的方法可称为“______站台”

已知 $p: x^2 - 4x + 3 = 0$，$q: -3 \le \frac{1}{2}x - 1 \le m$，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为（ ） A. $m > \frac{1}{2}$ B. $m \ge \frac{1}{2}$ C. $m > -2$ D. $m \ge -2$

已知 $p$: 关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2ax + a^2 + a - 2 = 0$ 有实根, $q$: 关于 $x$ 的方程 $x - 2a + 5 = 0$ 的解在 $\{x \mid -3 \le x \le 9\}$ 内. (1) 若 $\neg q$ 是真命题, 求 $a$ 的取值范围; (2) 若 $p$ 和 $q$ 中恰有一个是真命题, 求 $a$ 的取值范围.

小渝骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2 分钟，乙马过河需 3 分钟，丙马过河需 6 分钟，丁马过河需 7 分钟。每次最多两匹马同时过河，要把 4 匹马都赶到对岸去，最少需要____分钟。

老师在黑板上写了若干个从 1 开始的连续正整数：$1,2,3,4,\dots$，然后擦掉其中一个，剩下数的平均数是 $13\frac{9}{13}$，那么擦掉的数是________。

设正整数 $S$ 可以表示成 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n (2 \leqslant n \leqslant S)$ 之和，且 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$，用所有满足上述条件的数组 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成集合 $\Omega_S = \{a \mid a = (a_1, a_2, \cdots, a_n)\}$。对于 $a = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \Omega_S$，记 $T_a = a_1 a_2 \cdots a_n (2 \leqslant n \leqslant S)$，集合 $G_S = \{T_a \mid a \in \Omega_S\}$ 中元素的最大值为 $M_S$。 (1) 直接写出 $\Omega_4$ 中 $T_a > 2$ 的所有元素； (2) 对于 $a = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \Omega_S$： (i) 若 $1 < a_i < a_{i+1} (1 \leqslant i \leqslant n-1)$，求证：$a_i a_{i+1} \leqslant (a_i + 1)(a_{i+1} - 1)$； (ii) 直接写出 $M_{12}, M_{13}$； (3) 求 $M_{2026}$，并写出 $\Omega_{2026}$ 中相应的所有元素。

已知实数 $x, y$ 满足 $-1 \leqslant 2x+3y \leqslant 2$ ，$-3 < x-y \leqslant 1$ ，则 $M = 3x+4y$ 的取值范围是（ ） A. $-2 < M \leqslant 3$ B. $-2 \leqslant M \leqslant 3$ C. $0 \leqslant M \leqslant 3$ D. $0 \leqslant M < 3$

《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点 $F$ 在半圆 $O$ 上，且 $OF \perp AB$，点 $C$ 在直径 $AB$ 上运动.过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 交半圆 $O$ 于点 $D$.设 $AC=a$，$BC=b$，则由 $FC \ge CD$ 可以直接证明的不等式为（ ） A. $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}(a>0,b>0)$ B. $a^2+b^2 \ge 2ab(a>0,b>0)$ C. $\frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a>0,b>0)$ D. $\sqrt{ab} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a>0,b>0)$