已知 $|m|=4$，$|n|=6$，且 $m+n=|m+n|$，则 $m-n$ 的值是（　　）． A. $-10$ B. $-2$ C. $-2$ 或 $-10$ D. $-2$ 或 $-10$ 或 $2$ 或 $10$

化简：$|x+1|+|2x+1|$。

若 $x>0$，$y<0$，求 $|x-y+2|-|y-x-3|$ 的值.

$|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|$ 的最小值等于（　　） A. 10 B. 11 C. 17 D. 21

设 $abc \neq 0$，且 $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|}$ 的最大值为 $m$，最小值为 $n$，则 $m+n=$ ________.

数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1) 数轴上表示 $1$ 和 $4$ 的两点之间的距离是______； 表示 $-3$ 和 $2$ 的两点之间的距离是______； 表示数 $a$ 和 $-2$ 的两点之间的距离是 $3$，那么 $a=$______；

等比数列$\{a_n\}$的公比$q \neq 1, a_1 > 0, 2a_3 = a_2 + a_1$，记前$n$项和为$S_n$，则（ ）\nA. $q = -\frac{1}{2}$\nB. $S_n > \frac{2a_1}{3}$\nC. $2S_{n+2} = S_{n+1} + S_n$\nD. $\sum_{k=1}^n S_k > \frac{2na_1}{3}$

用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度 $y$ 与水平距离 $x$ 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 $F$，运动路径近似为抛物线 $C_1$，且 $C_1\colon y=ax^2+bx+c$，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 $G$，运动路径近似为抛物线 $C_2$，且 $C_2\colon y=-\frac{1}{5}x^2+mx+n$．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1) 如图②，当 $a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$ 时，若点 $F$ 坐标为 $(2,\,0)$，求抛物线 $C_1$ 的表达式； (2) 在 (1) 的条件下，若 $FG=4$，在水面上有一个截面宽 $AB=1$，高 $BC=0.5$ 的矩形 $ABCD$ 的障碍物，点 $A$ 的坐标为 $(4.5,\,0)$，判断此时石块沿抛物线 $C_2$ 运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3) 小星在抛掷石块时，若 $C_1$ 的顶点需在一个正方形 $MNPQ$ 区域内（包括边界），且点 $F$ 在 $(3,\,0)$ 和 $(4,\,0)$ 之间（包括这两点），其中 $M\left(\frac{1}{2},\,1\right)$，$N(1,\,1)$，$Q\left(\frac{1}{2},\,\frac{3}{2}\right)$，求 $a$ 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线 $C_1$ 在同一平面内）

如图，在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle BAC=120^\circ$，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，若 $AC=3$，则 $PA+PB+PC$ 的最小值为______。

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，点 $D$、$E$、$F$ 分别在 $AB$、$BC$、$AC$ 边上，且 $BE=CF$，$BD=CE$． (1) 求证：$\triangle DEF$ 是等腰三角形； (2) 当 $\angle A=50^\circ$ 时，求 $\angle DEF$ 的度数．