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真实进步案例 · 11 天

数学从 53 分，到 84 分

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数学
错题 754 待掌握 439 已掌握 315
集合间的基本关系(43)基本不等式(38)一元二次不等式(37)
物理
错题 226 待掌握 151 已掌握 75
匀变速直线运动基本公式(55)平均速度与瞬时速度(47)匀变速直线运动推论(32)
化学
错题 140 待掌握 101 已掌握 39
离子方程式的书写(31)氧化还原反应的概念(23)氧化剂与还原剂(21)
语文
错题 17 待掌握 16 已掌握 1
暂无标签
英语
错题 33 待掌握 31 已掌握 2
暂无标签
生物
错题 70 待掌握 45 已掌握 25
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历史
错题 15 待掌握 15 已掌握 0
暂无标签
地理
错题 27 待掌握 23 已掌握 4
暂无标签
道法
错题 14 待掌握 14 已掌握 0
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68 · 高中 · 数学
集合间的基本关系集合的补集运算充分条件与必要条件集合的交集运算

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第 2 题原题裁剪图
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已知非空集合 $P=\{x \mid a+1 \leqslant x \leqslant 2a+1\}$，$Q=\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 5\}$。 (1) 若 $a=3$，求 $(\complement_{\mathbf{R}} P) \cap Q$； (2) 若“$x \in P$”是“$x \in Q$”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围。

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71 · 高中 · 数学
新定义问题充分条件与必要条件集合的概念与表示组合数计算

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第 2 题原题裁剪图
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已知集合 $A=\{a_1, a_2, \cdots, a_k\}\,(k \ge 2)$，其中 $a_i \in \mathbf{Z}\,(i=1, 2, \cdots, k)$，新定义性质 $G$：若对任意的 $x \in A$，必有 $-x \notin A$，则称集合 $A$ 具有性质 $G$。由 $A$ 中元素可构成两个点集 $P$ 和 $Q$：$P=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A, x+y \in A\}$，$Q=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A, x-y \in A\}$，其中 $P$ 中有 $m$ 个元素，$Q$ 中有 $n$ 个元素。 (1) 已知集合 $J=\{0, 1, 2, 3\}$、集合 $K=\{-1, 2, 3\}$ 和集合 $L=\{y \mid y=x^2-2x+2\}$，判断它们是否具有性质 $G$，若有，则直接写出其对应的集合 $P, Q$；若无，请说明理由。 (2) 集合 $A$ 具有性质 $G$，若 $k=100$，求：集合 $Q$ 最多有几个元素？ (3) 试判断：“集合 $A$ 具有性质 $G$”是“$m=n$”的什么条件，请说明理由。

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69 · 高中 · 数学
命题的否定不等式恒成立问题一元二次不等式全称量词与存在量词

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已知命题 $p: \forall x \in \{x \mid x \ge 1\}, a - \frac{1}{2}x^2 \le 0$，命题 $q: \exists x \in \mathbf{R}, x^2 + ax + 16 = 0$. (1) 若两个命题都是真命题，求实数 $a$ 的取值范围； (2) 若两个命题有且只有一个为真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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70 · 高中 · 数学
集合间的基本关系绝对值不等式充分条件与必要条件集合的交集运算

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第 3 题原题裁剪图
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已知集合 $A = \left\{x \,\middle|\, \left|x + \frac{3}{2}\right| \le \frac{5}{2}\right\}$，集合 $B = \{x \mid 0 < x \le 2\}$，$D = \left\{x \,\middle|\, m \le x \le m + \frac{1}{2},\, m \in \mathbf{R}\right\}$。 (1) 若 $C = \{x \mid 2a < x < 1+a\}$，且 $C \subseteq (A \cap B)$，求实数 $a$ 的取值范围。 (2) 是否存在实数 $m$，使“$x \in (A \cap B)$”是“$x \in D$”的必要不充分条件？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

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72 · 高中 · 数学
不等式恒成立问题一元二次不等式全称量词与存在量词

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第 1 题原题裁剪图
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已知命题 $p$：“$\forall x \in \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 2\}, x-a \geqslant 0$”，命题 $q$：“$\exists x \in \mathbf{R}, x^2+2ax+4=0$”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（ ） A. $\{a \mid -2 < a \leqslant 1\}$ B. $\{a \mid -2 < a \leqslant 2\}$ C. $\{a \mid -2 < a < 2\}$ D. $\{a \mid 1 \leqslant a < 2\}$

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73 · 高中 · 数学
充分条件与必要条件全称量词与存在量词

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第 2 题原题裁剪图
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[湖南长沙 2026 高一月考] 命题“$\exists -1\leqslant x\leqslant 3$，$x^2-a\leqslant 0$”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. $a\geqslant 0$ B. $a\geqslant -1$ C. $a\leqslant 9$ D. $a\geqslant 1$

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16 · 高中 · 数学
抽象函数

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(1) 已知函数 $f(x)$，对于任意 $x$ 都有 $f(x)-2f(-x)=1+2x$，求 $f(x)$；\n(2) 已知函数 $f(x)=x^2-bx+c$，且 $f(1)=0$，$f(2)=-3$，求 $f(x)$。

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2 · 初中 · 数学
分类讨论思想一元一次不等式组的解法含参不等式（组）

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已知集合 $A = \left\{x \,\middle|\, \left|x + \frac{3}{2}\right| \le \frac{5}{2}\right\}$，集合 $B = \{x \mid 0 < x \le 2\}$，$D = \left\{x \,\middle|\, m \le x \le m + \frac{1}{2}, m \in \mathbf{R}\right\}$。 (1) 若 $C = \{x \mid 2a < x < 1 + a\}$，且 $C \subseteq (A \cap B)$，求实数 $a$ 的取值范围。 (2) 是否存在实数 $m$，使“$x \in (A \cap B)$”是“$x \in D$”的必要不充分条件？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

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3 · 初中 · 数学
新定义运算

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已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}\,(k \ge 2)$，其中 $a_i \in \mathbf{Z}\,(i=1,2,\cdots,k)$，新定义性质 $G$：若对任意的 $x \in A$，必有 $-x \notin A$，则称集合 $A$ 具有性质 $G$。由 $A$ 中元素可构成两个点集 $P$ 和 $Q$：$P=\{(x,y) \mid x \in A, y \in A, x+y \in A\}$，$Q=\{(x,y) \mid x \in A, y \in A, x-y \in A\}$，其中 $P$ 中有 $m$ 个元素，$Q$ 中有 $n$ 个元素。 (1) 已知集合 $J=\{0,1,2,3\}$、集合 $K=\{-1,2,3\}$ 和集合 $L=\{y \mid y=x^2-2x+2\}$，判断它们是否具有性质 $G$，若有，则直接写出其对应的集合 $P, Q$；若无，请说明理由。 (2) 集合 $A$ 具有性质 $G$，若 $k=100$，求：集合 $Q$ 最多有几个元素？ (3) 试判断：“集合 $A$ 具有性质 $G$”是“$m=n$”的什么条件，请说明理由。

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5 · 初中 · 数学
函数的表示方法（解析式法）待定系数法求一次函数解析式函数自变量的取值范围

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根据下列条件，求函数 $f(x)$ 的解析式. (1) 已知函数 $f(x)$ 是一次函数，若 $f(f(x))=4x+8$，求 $f(x)$ 的解析式. (2) 已知 $f(\sqrt{x}+1)=x-2\sqrt{x}$，求 $f(x)$ 的解析式.

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换元与待定系数法

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